Pluton à l'opposition... mesure de sa distance !

Pluton était à l'opposition ce 20 juillet, une bonne occasion pour son observation, et on verra comment, de mesurer tout simplement sa distance au Soleil/la Terre

J'ai mis à profit mes congés dans les Pyrénées pour l'occasion, avec un bon ciel dégagé vers le SE, et une baby lunette de 60/270 + caméra Asi 183MC. Pour ce genre de manip, un petit instrument vite & bien mis en œuvre vaut mieux qu'une grosse usinagaz compliquée, pour ne pas rater les créneaux ;-) Une chance, la météo, même si très chaude, a été de la partie !

Pluton se ballade du côté du Sagittaire



Le champ avec toutes les images empilées sur les trois nuits du 18, 19 et 23 juillet (38x2 minutes).. On est dans le disque de la Voie Lactée, il y a pléthores d'étoiles, Pluton est cachée dans sa botte de foin !

Avec un "blink" des trois images des nuits du 18, 19 et 23, le mouvement apparent de Pluton sur le ciel montre facilement sa présence




(on voit bien aussi l'effet du seeing, bien meilleur la nuit du 23, qui joue sur la détectivité)

Ce mouvement apparent va nous permettre de mesurer sa distance, avec un peu de géométrie toute simple, et l'aide de Kepler.

A l'opposition, le Soleil, la Terre et Pluton sont (a peu près) alignés, shématiquement (pas à l'échelle ) :



En considérant le déplacement respectif de la terre et de pluton sur un temps bref autour de l'opposition, on peut schématiser :



On peut raisonner qu'en 1 seconde, la Terre s'est déplacée de T1 à T2, sur une longueur Lt (qu'on peut approximer à un segment de droite T1 T2) et en même temps Pluton s'est déplacé de P1 à P2, sur une longueur Lp (sur un segment de droite P1 P2).

On vient de voir au dessus Pluton se déplacer sur le ciel avec un angle alpha (de x seconde d'arc ou radians par seconde) qu'on peut mesurer avec deux images à quelques heures/jours d'intervalle.

Sur le schéma ci dessus, on voit des triangles qui permettent de faire une géométrie simple Et avec l'aide de Kepler, connaissant la masse du Soleil, la distance de la Terre au Soleil ainsi que sa vitesse sur son orbite, on peut écrire l'équation suivante :



(on pourra la détailler plus loin)

On cherche la distance de Pluton au Soleil (Rpluton) et on connait la constante universelle G, Msol, Rterre et Vterre, il ne nous reste qu'une seule inconnue alpha, qu'on peut mesurer

Pour mesurer alpha, on peut relever la position X et Y en pixel de Pluton dans les images prises aux trois dates. J'ai additionné les 5 meilleures images pour chaque date (sur la base de la meilleure FWHM) puis déterminé la position à la fraction de pixel près de Pluton avec Prism

Date 17 juillet 22:09:23
X 1564.028
Y 916.466

18 juillet 22:08:12
X 1531.782
Y 914.278

Date 23 juillet 21:41:28
X 1371.607
Y 903.046

Le déplacement apparent de Pluton en pixel entre deux images alignées se calcule simplement (racine de deltaX² + deltaY²), et on connait l'instrument (sa focale & la taille des pixels de la caméra nous donnent 2.7 arcsec/pixel), on connait aussi le temps en secondes entre les deux images :



On a ainsi calculé alpha en radian par seconde

Il nous reste à résoudre l'équation donnée ci dessus - certains font ça de tête ou sur une nappe en papier ... pas fort en math, j'ai utilisé un tableur pour trouver la valeur de R pluton qu'on cherche qui donne un résultat le plus proche possible de zéro, on regarde ou la courbe passe par Y=0 (la valeur la plus basse, absurde, est ignorée)



Je trouve, avec mes 2 images du 18 et 23 juillet (qui encadrent l'opposition) 5.143 milliards de km, ou 34.4 UA.

Avec les images du 17+18 et 17+23 je trouve des valeurs similaires (34.3 et 34.4 UA).

Si j'en crois le logiciel stellarium, le jour de l'opposition le 20 juillet, Pluton était à 34.567 UA. Notre mesure n'a pas l'air trop pourrie

Bon ciel,
Jean-Philippe

Et tout ça avec une lunette 60/270 ...
Très belle démonstration !
Juste un peu déçu que tu n'ais pas calculé ça de tête !

Cool,un peu de math appliqué et du matos de base et hop on trouve de résultat chouette. Tu dors la journée avec cette chaleur? Ou bien la journée tu fait les calculs d’où la canicule.

Oulala oui ça chauffe du ciboulo, mon arithmétique est trèèèès loin !

Michel me fait remarquer que j'ai oublié de détailler la démonstration de l'équation.

Alors voilà, en utilisant les schémas au dessus,

la trigo nous dit que tan alpha = Lp / Dpe
comme l'angle alpha est très petit, on peut utiliser l'approximation des petits angles avec tan alpha = alpha
donc alpha (en rad) = Lp / Dpe
de la même façon alpha = Lt / (Dtp + Dpe)

si on considère que la Terre et Pluton on parcouru Lt et Lp en 1 seconde
alpha (en rad / s) = Vpluton / Dpe = Vterre / (Dtp + Dpe)

on a mesuré alpha (en rad/s) en observant la position de pluton sur deux images prises à un intervalle de temps connu

Kepler & Newton nous disent :
Vpluton = racine²(G x Msol / Rpluton) et Vterre = racine²(G x Msol / Rterre)
avec G la constante universelle de la gravitation = 6,674×10^-11 N×m²/kg² et Msol la masse du Soleil

calcul de Msol et Vterre :
on connait Rterre = 1 UA = 1.5x10^11 m et période terre= 365.24*24*60*60 secondes
merci Kepler, on peut calculer la masse du soleil Msol = (4 pi^2 Rterre^3) / (G Période terre^2) = 1.99x10^30 kg
et on calcule aussi Vterre = racine²(G x Msol / Rterre) = 29870 m/s

calcul de Rpluton :
alpha = Lp / Dpe --> Dpe = Vp / alpha = 1 / alpha x racine²(G x Msol / Rpluton)
alpha = Lt / (Dtp + Dpe) --> Dpe = 1 / alpha x Vterre - (Rp - Rt)
donc 1 / alpha x racine²(G x Msol / Rpluton) = 1 / alpha x Vt - (Rp - Rt)
donc racine²(G x Msol / Rpluton) = Vt - alpha x (Rp - Rt)

finalement racine²(G x Msol / Rpluton) + alpha x (Rp - Rt) - Vt = 0

reste à résoudre cette équation avec notre mesure de alpha

Salut Jean-Philippe,
merci pour ta démo, j'ai aussi "phosphoré" dessus pendant ce dimanche et ce matin "euréka", mes neurones (ceux qui me restent ) m'ont permis de trouver la solution... mais tu m'as pris de vitesse! Bravo encore pour cette belle manip, à bientôt, amicalement, Michel.

Si vous y mettez à plusieurs, on n’arrêteras plus le réchauffement climatique.          

Sur astrosurf, Nicolas Biver (astronome pro qui travaille sur les comètes) m'a fait une remarque très intéressante, je le cite :

"On aurait presque pu simplifier un peu plus (sans refaire appel à G et Msun), avec Rterre = 1 UA et Rp en UA

Si on prend (ou calcule) comme connue la vitesse de la terre (Vt=30km/s = 2.10-7 UA/s) alors Vpluton = Vterre/racine(Rp)

Alors la petite relation dans le traingle dessiné est (Rp-1)*sin(alpha.dt) = (Vt-Vp).dt

et donne (avec sin(alpha) ~ alpha en radian/s): (Rp-1)*alpha = Vt(1-Rp-0.5)

Pour les objets transneptuniens lointains, en première approximation R >> 1 (UA), on utilise (à l'opposition) R= Vt/alpha pour une première idée de leur distance (qui revient à considérer leur mouvement propre comme négligeable), en 2e approximation on peut utiliser l'équation ci-dessus qui affine les choses!"

Damned, moi qui pensait que la réponse était 42, je tombe de haut !