Deux photos d'Uranus...

C'est une manip classique de photographier une planète à quelques jours d'intervalle pour visualiser son déplacement apparent sur la voute céleste.

Voici donc Uranus à 48 h d'intervalle. Avec une petite lulu 50 et 240 de focale, 20x20 sec de pose.





Bon, voyons voir si on peut avec ces images déterminer la distance d'Uranus au Soleil, et la peser !

Visiblement elle se déplace pas seul, 2 satellites sur la 1° photo qui ont quitter leur place autant que Uranus, puis sur la seconde photo elle apparaît avec un seul satellite. Manipulation très sympa, j'attends la suite.

Avec un peu de géométrie, et en utilisant les équations de Kepler/Newton, on peut calculer la distance d'Uranus au soleil, à partir de notre mesure du déplacement apparent d'Uranus entre les deux images, pendant un temps T (ici environ 48h), et en connaissant par ailleurs la masse du soleil, la vitesse de la Terre sur son orbite, et le rayon de l'orbite de la Terre



(pas de détail sur le comment on arrive à cette relation, mais elle se démontre assez facilement, et on la trouve dans tout les bons livres d'astro

Avec ma mesure et cette relation, j'obtiens un résultat loin de la valeur acceptée... normal, Uranus n'était pas du tout à l'opposition, seul moment ou cette manip peut marcher. Le principe est posé, reste à attendre la période propice et faire les deux images.

Siegfried a écrit:

Visiblement elle se déplace pas seul, 2 satellites sur la 1° photo qui ont quitter leur place autant que Uranus, puis sur la seconde photo elle apparaît avec un seul satellite. Manipulation très sympa, j'attends la suite.

Bien vu Siegfried, c'est avec la rotation de ce(s) satellite(s) qu'on va essayer de peser Uranus

Pour mesurer la masse d'Uranus, on utilise la troisième loi de Kepler :

T^2/r^3 = 4 pi^2 / (G M)

T = la période de révolution d'un satellite autour d'Uranus (en secondes)
r = le rayon de l'orbite du satellite (en m)
G = la constante de gravitation universelle  6.6742E-11 N m^2⋅kg^–2
M = la masse d'Uranus (en kg)

Avec les deux photos d'Uranus et son satellite Obéron, on peut déterminer T et r



Détermination de r

L'axe de rotation d'Uranus, et le plan de rotation de ses satellites, présentent une très forte inclinaison (98° !) par rapport au plan de l'écliptique. Une bizarrerie bien commode, car on voit ainsi la rotation de ses satellites quasiment de face. Donc avec une image, on peut mesurer la distance en arcsec d'Uranus à son satellite. On considère que l'orbite du satellite est circulaire (c'est le cas avec Obéron). En connaissant la distance Terre-Uranus (on ne peut la mesurer ici, Uranus n'étant pas à l'opposition, on prendra celle sur un site d'éphéméride) on mesure r facilement :

r = D tan(séparation en radians)

je mesure une séparation de 39.3 arcsec (moyenne de la mesure sur les 2 images) soit 0.000190594 rad
D=3.02E+09 km

r = 574 640 km (une erreur de 1.5% par rapport à la mesure pro de 583 520 km)

Super!

Merci Jacques

Détermination de T

On peut mesurer l'angle de position d’Obéron dans sa rotation autour d'Uranus entre les deux photos; je trouve 54 degrés.

La durée entre les deux images était de 47.8 heures. Avec une simple règle de trois, on calcule qu'Obéron aurait parcouru 360 degrés (donc une rotation complète) en T = 13.27 jours.

Les pros disent que la période orbitale d'Obéron est de 13.46 jours. On est donc pas trop loing

Bon bin on a trouvé r et T.

On calcule finalement :

M = (4 pi^2 r^3) / (G T^2) =

8.54E+25 kg

soit 14.5 fois la masse de la Terre

(la mesure pro catalogue est de 8.68E+25)

avec juste 2 images.. merci Kepler et Newton


Pour la mesure de r et de l'angle de position, j'ai utilisé l'astrométrie des deux images
Objet RA DEC
Uranus 1 2.590956 14.817247
Oberon 1 2.591583333 14.82277778
Uranus 2 2.595298 14.839121
Oberon 2 2.595361111 14.85027778
qui permettent de calculer la séparation des deux objets et l'angle avec un peu de géométrie
cos d = cos Decl.1 cos Decl.2 cos (RA.2 − RA.1) + sin Decl.1 sin Decl.2
cos A = sin Decl.1 sin Decl.2 + cos Decl.1 cos Decl.2 cos (RA.1 - RA.2)